Physique nucléaire

AMEDEE

La base de données AMEDEE contient les propriétés nucléaires prédites pour près de 7 000 noyaux dans le cadre du formalisme Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) avec la fonctionnelle de densité de Gogny D1S. Pour chaque noyau sont disponibles la surface d’énergie potentielle, les propriétés de l’état fondamental (énergie de liaison, déformation, potentiels chimiques, rayons) et, pour environ 1 700 noyaux pair-pair, des propriétés spectroscopiques de bas niveaux collectifs issues du calcul 5DCH. La base de données était hébergée jusqu’à présent sur ce site.

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Cadre théorique des calculs

Le problème à N corps est résolu dans le cadre d’une approximation de champ moyen incluant les corrélations d’appariement, l’approximation Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB). Les équations HFB sont auto-cohérentes et résolues par une méthode itérative. Elles sont déduites d’un principe de minimisation de l’énergie totale du système :

$$\delta \left( \langle \Phi | H - \lambda_Z Z - \lambda_N N - \mu_2 Q_{20} | \Phi \rangle \right) = 0$$

Dans cette expression :

  • $|\Phi\rangle$ est la fonction d’onde HFB.
  • $\lambda_N$ et $\lambda_Z$ sont les paramètres de Lagrange pour imposer le nombre de neutrons $N$ et de protons $Z$.
  • $\mu_2$ est le paramètre de Lagrange pour imposer le moment quadripolaire $q_{20}$ défini par $$q_{20} = \langle \Phi | Q_{20} | \Phi \rangle$$

avec l’opérateur

$$Q_{20} = \left(\frac{16\pi}{5}\right)^{1/2} r^2 Y_{20}$$

  • $H$ est le Hamiltonien nucléaire qui s’écrit $$H = \sum_i T_i + \frac{1}{2} \sum_{i \neq j} V_{ij}$$

où $V_{ij}$ est l’interaction effective nucléon-nucléon de Gogny[^gogny] et $T_i$ le terme d’énergie cinétique.

Les équations HFB sont résolues dans une base d’oscillateurs harmoniques à symétrie axiale. La dimension de la base est définie par le nombre $N_0$ de couches majeures utilisées pour le développement de la fonction d’onde HFB. Ce nombre dépend du nombre de nucléons contenus dans le noyau. Il est tel que le nombre d’états de la base est égal à environ 8 fois le nombre maximum d’états occupés.

Ces états dépendent de la déformation imposée au noyau et sont définis par les nombres quantiques de l’oscillateur harmonique déformé ($n_\perp$, $m$ et $n_z$) qui obéissent à l’inéquation :

$$\left(2n_\perp + m + 1\right) \hbar\omega_\perp + \left(n_z + \tfrac{1}{2}\right) \hbar\omega_z \leq \left(N_0 + 2\right) \hbar\omega_0$$

avec

$$\left(\hbar\omega_0\right)^3 = \left(\hbar\omega_\perp\right)^2 \hbar\omega_z$$

où $\omega_\perp$ et $\omega_z$ sont les deux paramètres de l’oscillateur axial.

Ces paramètres doivent en principe être déterminés par le critère de l’énergie minimum. Cette procédure a été appliquée pour déterminer à chaque déformation la valeur optimale du paramètre $\omega_0$. En revanche, le rapport $q = \omega_\perp / \omega_z$ n’est pas optimisé mais estimé à l’aide de la relation :

$$q = \exp\left[\frac{1.5,\beta\cos(\gamma)}{2\beta + 1}\right]$$

avec $\gamma = 0$ si $\beta > 0$ et $\gamma = \pi$ si $\beta \leq 0$,

basée sur la déformation $\beta$ du noyau considéré comme une goutte liquide. Dans cette approche, les symétries conservées sont la symétrie axiale et la parité.

Le traitement des noyaux impairs et impairs-impairs fait l’objet d’une approximation supplémentaire appelée procédure du blocking en conservant la symétrie par renversement du sens du temps. Cette procédure consiste à fixer (bloquer) le nucléon célibataire dans une orbite déterminée durant la procédure de minimisation de l’énergie. Plusieurs calculs sont donc nécessaires pour déterminer la quasi-particule bloquée donnant l’énergie la plus basse. Dans le cas de noyaux impairs, 11 configurations ont été testées pour chaque déformation. Quant aux noyaux impairs-impairs, 25 configurations ont été envisagées.

Données techniques des calculs

Les surfaces d’énergie potentielle montrent l’énergie HFB du noyau, c’est-à-dire

$$E = \langle \Phi | H | \Phi \rangle$$

compte tenu des contraintes. Elles sont tracées en fonction du paramètre de déformation $\beta$ :

$$\beta = \left(\frac{5\pi}{9}\right)^{1/2} \frac{q_{20}}{A R_0^2}$$

où $A = N + Z$ est la masse du noyau, $R_0 = 1{.}2, A^{1/3}$ son rayon (en fermi) et $q_{20}$ est le moment quadripolaire de masse défini par

$$q_{20} = \langle \Phi | Q_{20} | \Phi \rangle$$

avec l’opérateur

$$Q_{20} = \left(\frac{16\pi}{5}\right)^{1/2} r^2 Y_{20}$$

Lorsque l’on ne visualise que les surfaces d’énergie potentielle, on observe des lignes tracées en pointillés. Ces lignes représentent la correction engendrée par la rotation aux spins $I = 8$, $16$ et $24$. Elles sont obtenues en ajoutant à l’énergie de liaison l’énergie de rotation

$$E_\text{rot} = \frac{I(I+1)}{2,\mathfrak{I}_x}$$

fournie par le simple modèle rotationnel, dans laquelle le moment d’inertie $\mathfrak{I}_x$ est calculé pour chaque déformation $|\beta| \geq 0{.}15$.

Les énergies de liaison théoriques (minimum de l’énergie potentielle le plus proche de $\beta = 0$) et expérimentales sont indiquées dans ces figures. Ces données expérimentales sont issues de la table d’Audi et Wapstra.

Les potentiels chimiques sont les paramètres de Lagrange $\lambda_Z$ et $\lambda_N$ pour les protons et les neutrons.

Les masses collectives quadripolaires $M_{20}$ et les moments d’inertie $\mathfrak{I}_x$ ont été calculés à l’approximation de Inglis-Beliaev. Le calcul des énergies de point zéro (ZPE) est aussi décrit dans ce même article.

Les énergies d’appariement proton et neutron (p/n) sont, quant à elles, définies par

$$E_P^{(p/n)} = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left( \Delta^{(p/n)}, \kappa^{(p/n)} \right)$$

où $\Delta^{(p/n)}$ est le champ d’appariement et $\kappa^{(p/n)}$ le tenseur d’appariement obtenus par résolution des équations HFB.

Les paramètres $\beta_2^{(p/n)}$ et $\beta_4^{(p/n)}$ sont proportionnels aux moments multipolaires $q_{20}$ et $q_{40}$ définis sur les distributions de protons et de neutrons. Plus précisément,

$$\beta_4^{(p/n)} = \frac{q_{40}^{(p/n)}}{A, R_0^4}$$

avec

$$q_{40}^{(p/n)} = \langle \Phi^{(p/n)} | r^4 Y_{40} | \Phi^{(p/n)} \rangle$$

Pour finir, les rayons protons et neutrons sont donnés par les racines carrées des rayons carrés moyens $\langle r^2 \rangle^{(p/n)}$ définis par

$$\langle r^2 \rangle^{(p/n)} = \langle \Phi^{(p/n)} | r^2 | \Phi^{(p/n)} \rangle$$

Références